Pembagian Polinomial oleh Polinomial Derajat Dua Dengan Cara Bersusun, Horner, dan Horner - Kino

m4th-lab.net - Pembagian Polinomial (Suku Banyak) oleh Polinimoal (Suku Banyak) Derajat Dua ($ax^2+bx+c$) dengan Cara Pembagian Bersusun, Skema Horner (Pembagian Sintetis) dan Pembagian Horner - Kino

Dalam pembagian polinomial (Suku Banyak), tidak jarang menemukan peserta didik yang masih kesulitan, terutama jika pembaginya berupa polinomial berderajat dua atau lebih. Pada pembahasan materi pada kesempatan ini, m4th-lab akan mengulas pembagian polinomial oleh polinomial berderajat 2 secara lengkap menggunakan tiga cara, yaitu dengan cara pembagian bersusun, cara skema horner (pembagian sintetis), dan pembagian Horner-Kino. Kami harapkan, dengan pemaparan lengkap tiga cara ini, dapat menjadi referensi tambahan untuk adik-adik belajar sekaligus membandingkan cara mana yang paling mudah dikerjakan.

1. Pembagian Polinomial Dengan Cara Bersusun

Pembagain polinomial (suku banyak) dengan cara bersusun merupakan cara paling fleksibel, bisa digunakan dalam menyelesaikan pembagian polinomial derajat berapapun asalkan derajat pembagi tidak lebih besar dari derajat polinomial yang dibagi. Namun cara ini tentunya akan memakan waktu yang lebih banyak, karena biasanya cara ini lebih panjang dari cara pembagian polinomial lainnya. 

Pembagian polinomial dengan cara bersusun pada dasarnya mirip seperti pembagian bersusun pada bilangan, hanya saja pada pembagian polinomial pada setiap tahap pembagian kita hanya melihat derat tertinggi polinomial yang dibagi dan derajat tertinggi polinomial pembagi.

untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini:

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian jika suku banyak $2x^4-3x^3+4x^2-x+6$ dibagi oleh $x^2-2x-8$!

Jawab:

Dengan pembagian bersusun, kita selesaikan sebagai berikut:

Jadi, pembagaian suku banyak $2x^4-3x^3+4x^2-x+6$ oleh $x^2-2x-8$ kita peroleh hasil bagi $=2x^2+x+22$ dan sisa $=51x+182$

2. Pembagaian Polinomial dengan Cara Skema Horner (Pembagian Sintetis)

Pembagian polinomial oleh polinomial derajat 2 dengan cara skema horner (pembagian sintetis) hanya dapat dilakukan jika pembaginya dapat difaktorkan, jika pembagianya tidak dapat difaktorkan, maka cara ini tidak dapat digunakan.

Misal suatu polinomial $f(x)$ dibagi oleh polinomial $p(x)=ax^2+bx+c$ dimana $ax^2+bx+c=a(x-k_1)(x-k_2)$ dengan $a\ne 0$ maka pembagiannya dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Kita bagi $f(x)$ oleh $(x-k_1)$, diperoleh: $f(x)=(x-k_1)(H_1)(x)+S_1$
2. Hasil bagi $H_1(x)$ dibagi lagi oleh $(x-k_2)$, diperoleh: $H_1 (x)=(x-k_2)H_2 (x)+S_2$
3. Substitusikan $H_1(x)$ ke persamaan $f(x)$, diperoleh: $$\begin{align*}f(x)&=(x-k_1)H_1(x)+S_1\\&=(x-k_1)[(x-k_2)H_2(x)+S_2]+S_1\\&=(x-k_1)(x-k_2)H_2(x)+S_2 (x-k_1)+S_1\\&=a(x-k_1)(x-k_2)\frac{H_2(x)}{a}+S_2(x-k_1)+S_1\\&=(ax^2+bx+c)\frac{H_2(x)}{a}+S_2(x-k_1)+S_1\end{align*}$$

Jadi, $f(x)=a(x-k_1)(x-k_2)\frac{H_2(x)}{a}+S_2(x-k_1)+S_1$

dengan demikian, jika suatu polinomial $f(x)$ dibagi oleh $ax^2+bx+c=a(x-k_1)(x-k_2)$ maka:

1. Hasil Bagi $=\frac{H_2(x)}{a}$
2. Sisa $=S_2(x-k_1)+S_1$

Sebagai contoh, akan saya gunakan soal yang sama dengan pembagian bersusun di atas:


Contoh:
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak $2x^4-3x^3+4x^2-x+6$ oleh $x^2-2x-8$

Jawab:
$f(x)=2x^4-3x^3+4x^2-x+6$
$p(x)=x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$ maka $k_1=4$ dan $k_2=-2$

Kita peroleh:
Hasil Bagi : $2x^2+x+22$
$\begin{align*}\text{Sisa}&=S_2(x-k_1)+S_1\\&=51(x-4)+386\\&=51x-204+386\\&=51x+182\end{align*}$



3. Pembagian Polinomial dengan Cara Skema Horner - Kino

Berbeda dengan Horner Biasa, pembagian polinomial dengan skema Horner - Kino tidak terbatas pada pembagi yang dapat difaktorkan, dengan kata lain, meski pembagi berderajat dua sulit untuk difaktorkan dan tidak bisa dengan cara horner biasa, maka pembagian polinomial tersebut masih bisa menggunakan Horner - Kino.

Nama Horner - Kino sendiri diambil dari nama pencetusnya, seorang penulis buku matematika yang sangat terkenal dan bukunya banyak beredar dan banyak digunakan sebagai referensi pembelajaran di sekolah beliau adalah Bapak Sukino, M. Sc, 

Misal suatu polinomial $f(x)=px^4+qx^3+rx^2+sx+t$ dibagi oleh $p(x)=ax^2+bx+c$.

terlebih dahulu kita tentukan $k_1=-\frac{c}{a}$ dan $k_2=-\frac{b}{a}$ lalu ikuti pola Horner - Kino sebagai berikut:

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:

Contoh 1:
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak $2x^4-3x^3+4x^2-x+6$ oleh $x^2-2x-8$



Jawab:
$k_1=-\frac{c}{a}=-\frac{-8}{1}=8$
$k_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$

Maka kita peroleh hasil bagi $=2x^2+x+22$ dan Sisa $=51x+182$

Sudah mengerti?
jika belum, perhatikan contoh ke dua berikut ini:



Contoh 2:
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian polinomial $x^4+2x^2-9x-18$ oleh $x^2-x-1$.

Jawab:
pembagi merupakan polinomial derajat dua yang sulit difaktorkan, jadi soal ini tidak bisa diselesaikan dengan metode horner biasa, kita akan menyelesaikan soal ini dengan horner - Kino.

$k_1=-\frac{c}{a}=1$
$k_2=-\frac{b}{a}=1$

sehingga:

maka kita peroleh hasil bagi $=x^2+x+4$ dan sisa $=-4x-14$

Demikianlah cara menyelesaikan soal pembagian polinomial oleh polinomial derajat dua dengan cara pembagian bersusun, cara horner (pembagian sintetis) dan cara skema Horner - Kino.

Semoga tulisan ini bermanfaat, dan jangan lupa lihat video pembelajaran matematika kami di https://youtube.com/m4thlab dan like fans page facebook kami di https://facebook.com/mathlabsite 

Sumber https://www.m4th-lab.net/